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막스 덴

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목차

1. 개요

막스 덴은 독일의 수학자로, 기하학, 위상수학, 조합적 군론 분야에 기여했다. 그는 다비트 힐베르트 아래에서 기하학을 공부했으며, 힐베르트의 문제 제3번을 해결하고, 덴 불변량을 도입했다. 또한, 덴 수술, 덴의 알고리즘, 덴 함수 등의 개념을 제시했으며, 1911년에는 군에 대한 단어 문제를 제기했다. 나치의 유대인 탄압으로 인해 미국으로 망명하여 블랙마운틴 대학교에서 수학 등을 가르쳤다.

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막스 덴 - [인물]에 관한 문서
기본 정보
막스 덴
출생일1878년 11월 13일
출생지함부르크, 독일 제국
사망일1952년 6월 27일
사망지블랙 마운틴 (노스캐롤라이나 주)
국적미국
학문 분야
분야수학
모교괴팅겐 대학교
지도 교수다비트 힐베르트
지도 학생야코프 닐센(Jakob Nielsen)
빌헬름 마그누스(Wilhelm Magnus)
루트 무팡
오트하인리히 켈러(Ott-Heinrich Keller)
직장뮌스터 대학교
프랑크푸르트 괴테 대학교
블랙 마운틴 칼리지
알려진 업적덴 불변량(Dehn invariant)
덴 알고리즘(Dehn's algorithm)
덴 수술(Dehn surgery)
덴 보조정리(Dehn's lemma)
덴 트위스트(Dehn twist)
덴 함수(Dehn function)
덴 평면(Dehn plane)
덴의 강성 정리(Dehn's rigidity theorem)
덴-솜머빌 방정식(Dehn-Sommerville equations)
덴-닐센 정리(Dehn-Nielsen theorem)
수상
수상해당사항 없음

2. 생애

독일 제국 함부르크에서 유대인 가정에서 태어났다.[12][13][4][5] 괴팅겐 대학교에서 다비트 힐베르트 아래 기하학을 공부하며 1899년 다각형에 대한 조르당 곡선 정리를 증명했고, 1900년 사케리-르장드르 정리에 관한 박사 학위 논문을 썼다.[12][13]

1900년부터 1911년까지 뮌스터 대학교에서 연구원으로 재직하며, 1900년 하빌리타치온 논문을 통해 힐베르트의 세 번째 문제를 해결했다.[1][12][13] 이후 연구 분야를 위상수학과 조합적 군론으로 넓혀 덴 수술, 덴의 보조정리, 군에 대한 단어 문제(덴 문제), 덴의 알고리즘, 덴 함수 등 중요한 개념들을 제시했다.[1][6] 1912년 8월 23일 Antoine Lanau|안토니 라나우de와 결혼했다.[12][13]

1922년 프랑크푸르트 대학교 교수로 부임했으나,[1] 1935년 나치 독일의 반유대주의 정책으로 인해 강제로 퇴임당했다.[12][13] 1939년 1월 독일을 떠나 덴마크 코펜하겐, 노르웨이 트론헤임을 거쳐 망명길에 올랐고,[1][12][13] 1940년 10월에는 시베리아와 일본을 경유하여 미국으로 망명했다.[1][12][13]

미국에서는 아이다호 주립 대학교, 일리노이 공과대학교, 세인트존스 대학교 등에서 잠시 재직하다가,[12][13] 1945년 1월부터 실험적인 예술 대학인 블랙마운틴 칼리지에서 유일한 수학 교수로 활동하며 수학 외에도 철학, 그리스어, 이탈리아어 등을 가르쳤다.[12][13] 1952년 노스캐롤라이나주 블랙마운틴에서 색전증으로 사망했다.[12][13]

2. 1. 초기 생애 및 교육 (1878-1900)

독일 제국 함부르크에서 유대인 가정에서 태어났다.[12][13][4][5] 당시 세계 최고 수준의 수학 교육 기관이었던 괴팅겐 대학교에서 다비트 힐베르트의 지도를 받으며 기하학을 공부했다.[12][13] 1899년에는 다각형에 대한 조르당 곡선 정리를 증명하였고,[12][13] 1900년에는 사케리-르장드르 정리(Saccheri–Legendre theorem|사케리-르장드르 정리영어)를 공리 기하학적으로 다루는 내용으로 박사 학위 논문을 썼다.[12][13] 이 논문에서 그는 아르키메데스 공리가 성립하지 않는 기하학에서 사케리-르장드르 정리에 대한 반례로 덴 평면을 구성하기도 했다.

2. 2. 뮌스터 대학교 재직 (1900-1911)

1900년부터 1911년까지 뮌스터 대학교에서 직원 및 연구원으로 재직했다.[1][5] 1900년 뮌스터 대학교에서 하빌리타치온을 위한 논문을 제출하면서, 나중에 덴 불변량이라고 불리는 개념을 도입하여 힐베르트의 세 번째 문제를 해결했다.[1] 이는 힐베르트의 23개 문제 가운데 가장 먼저 해결된 것이었다.[1]

이후 덴의 연구 관심은 위상수학과 조합적 군론으로 옮겨갔다.[1] 1907년에는 풀 헤이가르와 함께 당시 '위치 해석'으로 알려진 조합적 위상수학의 기초에 관한 첫 번째 교과서를 저술했다.[1] 같은 해에 새로운 호몰로지 구의 구성 방법을 발표하기도 했다.[1] 1908년에는 푸앵카레 추측을 증명했다고 발표했으나, 티에체에 의해 증명 과정에서 오류가 발견되었다.[1]

1910년에는 3차원 위상수학에 관한 중요한 논문을 발표하여 덴 수술 기법을 소개하고 이를 이용해 여러 호몰로지 구를 구성했다.[1] 또한 이 논문에서 유명한 덴의 보조정리를 제시했으나, 그 증명은 훗날(1929년) 헬무트 크네저에 의해 오류가 있음이 밝혀졌다.[1] 1911년에는 군론에서 중요한 문제인 군에 대한 단어 문제(훗날 '덴 문제'라고도 불림)를 제기했다.[6]

2. 3. 위상수학과 군론 연구 (1907-1922)

덴의 관심은 이후 위상수학과 조합적 군론으로 옮겨갔다. 1907년에는 풀 헤이가르와 함께 조합적 위상수학의 기초에 관한 최초의 저서, 당시 '위치 해석'으로 알려진 책을 저술했다. 또한 같은 해에 새로운 호몰로지 구의 구성을 설명했다. 1908년에는 푸앵카레 추측의 증명을 찾았다고 생각했지만, 티에체가 그 증명에서 오류를 발견했다.

1910년 덴은 3차원 위상수학에 관한 논문을 발표하여 덴 수술을 소개하고 이를 사용하여 호몰로지 구를 구성했다. 그는 또한 덴의 보조정리를 제시했지만, 1929년 헬무트 크네저에 의해 그의 증명에서 오류가 발견되었다. 이 결과는 나중에 1957년 크리스토스 파파키리아코풀로스에 의해 증명되었다. 군에 대한 단어 문제, 즉 '덴 문제'는 1911년에 그가 제기했다.[6]

1912년 덴은 현재 덴의 알고리즘으로 알려진 것을 발명하여 단어 문제 및 공액 문제에 대한 연구에 사용했다. 기하학적 군론에서 유한 표시 군에서 관계의 면적을 해당 관계의 길이에 따라 추정하는 덴 함수의 개념 역시 그의 이름을 따서 명명되었다. 1914년에는 왼쪽과 오른쪽 세잎 매듭이 동등하지 않음을 증명했다. 1920년대 초 덴은 덴-닐센 정리로 알려지게 될 결과를 소개했으며, 그 증명은 1927년 야코프 닐센에 의해 발표되었다.

2. 4. 프랑크푸르트 대학교 재직과 나치 박해 (1922-1939)

1922년, 루드비히 비버바흐의 후임으로 프랑크푸르트 대학교 교수로 임용되었다. 프랑크푸르트 대학교 재직 중, 덴은 수학사 세미나를 열어 많은 후학에게 영향을 주었다.[7] 특히 카를 루드비히 지겔, 앙드레 베유와 같은 저명한 수학자들이 이 세미나에 참여했으며, 베유는 이 세미나를 덴의 가장 중요한 학문적 기여 중 하나로 평가하기도 했다.[8] 또한 이 세미나는 지겔이 리만의 미발표 노트에서 리만-지겔 공식을 발견하는 데 영감을 준 것으로 알려져 있다.[9]

그러나 1933년 나치당이 집권하면서 유대인이었던 덴은 점차 어려움을 겪게 되었고, 결국 1935년 나치 독일의 반유대주의 정책에 따라 교수직에서 강제로 물러나야 했다. 이후 독일 내 상황이 더욱 악화되자, 덴은 1939년 1월 덴마크 코펜하겐으로 망명길에 올랐다.[1]

2. 5. 미국 망명과 블랙마운틴 대학교 (1939-1952)

1935년 나치 독일의 반유대인 정책으로 강제 퇴임한 후, 덴은 1939년 1월 독일을 탈출하여 덴마크 코펜하겐을 거쳐 노르웨이 트론헤임으로 이주했다. 트론헤임에서는 노르웨이 공과대학교에서 자리를 잡았다.[1] 그러나 제2차 세계 대전의 확산으로 유럽에 머무르기 어려워지자, 1940년 10월 대서양 횡단이 너무 위험하다고 판단하여 시베리아와 일본을 경유하는 경로를 통해 미국으로 망명했다.[1]

미국에서 덴은 손더스 매클레인의 도움을 받아 아이다호 서던 대학교(Idaho Southern University영어, 현 아이다호 주립 대학교)에서 교수직을 얻었다. 이후 1942년에는 일리노이 공과대학교로, 1943년에는 메릴랜드주 아나폴리스에 있는 세인트존스 대학교로 자리를 옮겼다.

1944년 3월, 덴은 실험적인 예술 대학이었던 블랙마운틴 대학교로부터 수학의 철학과 역사에 관한 두 차례의 강연을 해달라는 초청을 받았다. 그는 청중을 고려하여 고급 수학 주제보다는 "수학과 장식의 공통 뿌리"와 "수학적 아이디어의 발전에서 몇 가지 순간" 같은 강의를 제안했다.[3][10] 이 강연을 계기로 블랙마운틴 대학교는 그에게 전임 교수직을 제안했다. 덴은 월급을 25USD에서 40USD로 협상한 후,[3][10] 1945년 1월부터 블랙마운틴 대학교에서 가르치기 시작했다. 그는 이 대학의 유일한 수학자였다고 전해진다.[10][3]

블랙마운틴 대학교에서 덴은 수학뿐만 아니라 철학, 그리스어, 이탈리아어 등 다양한 과목을 가르쳤다.[10][3] 특히 그가 가르친 "화가를 위한 기하학"(Geometry for Artists영어) 과목이 유명했다. 이 수업에서 그는 학생들에게 점, 선, 평면, 다면체와 같은 기본적인 기하학적 개념을 소개하고, 원뿔을 절단하여 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 만드는 방법, 구와 정다면체 등을 다루었다. 수업은 형태들이 서로 어떻게 관련되는지에 초점을 맞추어 예술적 매체에서 활용될 수 있는 개념들을 탐구했다.[3] 덴은 블랙마운틴의 숲이 우거진 자연환경을 즐겼으며, 종종 숲에서 하이킹을 하며 수업을 진행하기도 했다.[3] 그의 강의는 철학, 예술, 자연과 수학의 관련성에 대한 이야기로 확장되곤 했다. 그는 아내와 함께 지역 사회 활동에 참여했으며, 버크민스터 풀러 부부와 정기적으로 교류하기도 했다.[3]

1952년 여름, 덴은 명예 교수가 되어 캠퍼스에 계속 머물며 고문 역할을 할 예정이었다. 그러나 캠퍼스 내 층층나무 여러 그루가 베어지는 것을 목격한 직후 색전증으로 갑작스럽게 세상을 떠났다.[11] 그는 블랙마운틴 대학교 캠퍼스 내 숲에 묻혔다.[3][10]

3. 업적

막스 덴은 괴팅겐 대학교에서 힐베르트의 지도를 받아 1899년 다각형에 대한 요르단 곡선 정리를 증명했다. 1900년에는 사케리-르장드르 정리가 공리적 기하학에서 갖는 역할에 대한 논문을 발표했으며, 아르키메데스 공리가 없는 기하학의 예시로 덴 평면을 제시했다. 같은 해, 그는 뮌스터 대학교에서 하빌리타치온을 받으며 나중에 덴 불변량이라고 불리는 개념을 도입하여 힐베르트의 세 번째 문제를 해결했다. 이는 힐베르트 문제 중 가장 먼저 해결된 문제였다.

이후 덴의 연구는 위상수학과 조합적 군론 분야로 확장되었다. 1907년에는 풀 헤이가르와 함께 조합적 위상수학의 기초를 다루는 첫 번째 책(당시 '위치 해석'으로 알려짐)을 저술했으며, 새로운 호몰로지 구를 구성하는 방법을 설명했다. 1908년에는 푸앵카레 추측 증명을 시도했으나, 티에체에 의해 오류가 지적되었다.

1910년에는 3차원 위상수학에 관한 중요한 논문을 발표하여 덴 수술 기법을 소개하고 이를 이용해 호몰로지 구를 구성했다. 이 논문에서 덴의 보조정리도 제시되었으나, 그의 증명에는 오류가 있었고 이는 1929년 헬무트 크네저가 발견했다. 이 보조정리는 훗날 1957년 크리스토스 파파키리아코풀로스에 의해 완전히 증명되었다. 1911년에는 군론에서 중요한 미해결 문제인 군에 대한 단어 문제(덴 문제)를 제기했다.[6]

1912년에는 단어 문제와 공액 문제를 연구하기 위해 덴의 알고리즘을 개발했다. 기하학적 군론 분야에서는 유한 표시 군에서 관계의 면적을 해당 관계의 길이에 따라 추정하는 덴 함수의 개념을 도입하여 그의 이름이 붙여졌다. 1914년에는 왼쪽 세잎 매듭과 오른쪽 세잎 매듭이 서로 동등하지 않음을 증명하여 매듭 이론에도 기여했다. 1920년대 초에는 덴-닐센 정리로 알려지게 될 중요한 결과를 소개했으며, 그 증명은 1927년 야코프 닐센에 의해 발표되었다.

프랑크푸르트 재직 시절(1922-1935)에는 수학의 역사에 관한 세미나를 열어 카를 루드비히 지겔, 앙드레 베유 등 저명한 수학자들에게 큰 영향을 주었다.[7] 베유는 이 세미나를 덴의 가장 중요한 학문적 기여 중 하나로 평가했으며,[8] 지겔이 리만의 미발표 노트에서 리만-지겔 공식을 발견하는 데 영감을 주기도 했다.[9]

참조

[1] 논문 Max Dehn, Kurt Gödel, and the Trans-Siberian Escape Route https://www.ams.org/[...]
[2] 문서 MathGenealogy
[3] 논문 Max Dehn: An Artist among Mathematicians and a Mathematician among Artists http://www.blackmoun[...] 2011-03
[4] 서적 Transcending Tradition: Jewish Mathematicians in German Speaking Academic Culture https://books.google[...]
[5] 문서 MacTutor Biography
[6] 논문 Max Dehn and the Origins of Topology and Infinite Group Theory https://scholar.arch[...] 2015
[7] 논문 On the history of the frankfurt mathematics seminar 1979-12-01
[8] 서적 History of the Mathematical Sciences Hindustan Book Agency
[9] 서적 The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers https://archive.org/[...] A K Peters
[10] 논문 Max Dehn and Black Mountain College
[11] 서적 The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers https://archive.org/[...] A K Peters
[12] 서적 Transcending Tradition: Jewish Mathematicians in German Speaking Academic Culture https://books.google[...]
[13] 문서 MacTutor Biography


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